Die Erforschung des Chaos - Dynamische Systeme
von: John Argyris, Gunter Faust, Maria Haase, Rudolf Friedrich
Springer Vieweg, 2017
ISBN: 9783662545461
Sprache: Deutsch
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Format: PDF, auch als Online-Lesen
geeignet für:
| Vorwort zur dritten Auflage | 7 | ||
| Vorwort zur zweiten Auflage | 8 | ||
| Vorwort zur ersten Auflage | 10 | ||
| Inhaltsverzeichnis | 18 | ||
| 1 Einführung | 24 | ||
| 2 Hintergrund und Motivation | 37 | ||
| 2.1 Kausalität– Determinismus | 38 | ||
| 2.2 Dynamische Systeme – Beispiele | 46 | ||
| 2.3 Phasenraum | 53 | ||
| 2.4 Erste Integrale und Mannigfaltigkeiten | 55 | ||
| 2.5 Qualitative und quantitative Betrachtungsweise | 60 | ||
| 3 Mathematische Einführung in dynamische Systeme | 61 | ||
| 3.1 Lineare autonome Systeme | 61 | ||
| 3.2 Nichtlineare Systeme und Stabilität | 73 | ||
| 3.3 Invariante Mannigfaltigkeiten | 80 | ||
| 3.4 Diskretisierung in der Zeit | 82 | ||
| 3.5 Poincaré-Abbildung | 84 | ||
| 3.6 Fixpunkte und Zyklen diskreter Systeme | 86 | ||
| 3.7 Ein Beispiel diskreter Dynamik – die logistische Abbildung | 90 | ||
| 3.8 Fourier-Reihe und Fourier-Integral | 97 | ||
| 3.8.1 Fourier-Reihe | 97 | ||
| 3.8.2 Fourier-Integral und Fourier-Transformation | 101 | ||
| 3.8.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation | 103 | ||
| 3.8.4 Einfache Fourier-Transformationen, Linienspektren, Diracsche ?-Funktion | 107 | ||
| 3.8.5 Wavelet-Transformation | 111 | ||
| 3.9 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie | 114 | ||
| 3.9.1 Zufallsexperiment | 116 | ||
| 3.9.2 Zufallsvariable | 118 | ||
| 3.9.3 Wahrscheinlichkeit | 119 | ||
| 3.9.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Verbundwahrscheinlichkeit | 124 | ||
| 3.9.5 Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte | 126 | ||
| 3.9.6 Maßzahlen einer Verteilung | 130 | ||
| 3.9.7 Unabhängige und abh¨angige Ereignisse | 133 | ||
| 3.9.8 Momenterzeugende und charakteristische Funktion | 135 | ||
| 3.9.9 Spezielle Verteilungen | 138 | ||
| 3.9.10 Zentraler Grenzwertsatz | 146 | ||
| 3.9.11 Cauchy-Verteilung und | 150 | ||
| 3.9.12 Analyse stochastischer Prozesse | 155 | ||
| 3.10 Invariantes Maß und ergodische Bahnen | 161 | ||
| 3.10.1 Natürliche invariante Dichte der logistischen Abbildung | 161 | ||
| 3.10.2 Frobenius-Perron-Gleichung und ergodisches Maß | 166 | ||
| 4 Dynamische Systeme ohne Dissipation | 171 | ||
| 4.1 Hamiltonsche Gleichungen | 171 | ||
| 4.2 Kanonische Transformationen, Integrierbarkeit | 178 | ||
| 4.3 f-dimensionale Ringe (Tori) und Trajektorien | 188 | ||
| 4.4 Die Grundzüge der KAM-Theorie | 191 | ||
| 4.5 Instabile Tori, chaotische Bereiche | 196 | ||
| 4.6 Ein numerisches Beispiel: die Hé non-Abbildung | 206 | ||
| 5 Dynamische Systeme mit Dissipation | 223 | ||
| 5.1 Volumenkontraktion – eine wesentliche Eigenschaft dissipativer Systeme | 224 | ||
| 5.2 Seltsamer Attraktor: Lorenz-Attraktor | 226 | ||
| 5.3 Leistungsspektrum und Autokorrelation | 232 | ||
| 5.4 Lyapunov-Exponenten | 236 | ||
| 5.4.1 Lineare Stabilitätsanalyse nichtlinearer Systeme: Gleichgewicht | 237 | ||
| 5.4.2 Stabilität periodischer Lösungen: Floquet-Theorie | 243 | ||
| 5.4.3 Lyapunov-Exponent eindimensionaler Abbildungen | 253 | ||
| 5.4.4 Lyapunov-Exponenten n-dimensionaler kontinuierlicher Systeme | 256 | ||
| 5.4.5 Lyapunov-Exponenten n-dimensionaler diskreter Systeme | 263 | ||
| 5.4.6 Numerische Berechnung der Lyapunov-Exponenten | 265 | ||
| 5.4.7 Lyapunov-Vektoren | 271 | ||
| 5.5 Dimensionen | 276 | ||
| 5.5.1 Cantor-Menge | 278 | ||
| 5.5.2 Fraktaldimensionen: | 282 | ||
| Kapazitä tsdimension und Hausdorff-Besicovitch-Dimension | 282 | ||
| 5.5.3 Informationsdimension | 284 | ||
| 5.5.4 Korrelationsdimension, punktweise Dimension und | 297 | ||
| 5.5.5 Verallgemeinerte Dimension | 313 | ||
| 5.5.6 Lyapunov-Dimension und Kaplan-Yorke-Vermutung | 315 | ||
| 5.6 Kolmogorov-Sinai-Entropie | 321 | ||
| 5.6.1 Der Bernoulli-Shift | 322 | ||
| 5.6.2 Definition der KS-Entropie | 326 | ||
| 5.6.3 Zusammenhang zwischen KS-Entropie und Lyapunov-Exponenten | 333 | ||
| 5.6.4 Zeitspanne für verläßliche Prognosen | 335 | ||
| 6 Lokale Bifurkationstheorie | 339 | ||
| 6.1 Motivation | 341 | ||
| 6.2 Zentrumsmannigfaltigkeit | 349 | ||
| 6.3 Normalformen | 368 | ||
| 6.4 Normalformen von Verzweigungen einparametriger Flüsse | 382 | ||
| 6.5 Stabilität von Verzweigungen infolge Störungen | 402 | ||
| 6.6 Verzweigungen von Fixpunkten einparametriger Abbildungen | 405 | ||
| 6.7 Renormierung und Selbstähnlichkeit am Beispiel der logistischen Abbildung | 429 | ||
| 6.7.1 Der Mechanismus der Periodenverdopplung ad infinitum | 429 | ||
| 6.7.2 Superstabile Zyklen | 437 | ||
| 6.7.3 Selbst¨ahnlichkeit im | 442 | ||
| 6.7.4 Selbstähnlichkeit im Parameterraum | 452 | ||
| 6.7.5 Zusammenhang mit Phasenübergängen 2. Ordnung und Renormierungsmethoden | 465 | ||
| 6.8 Ein beschreibender Exkurs in die Synergetik | 470 | ||
| 7 Konvektionsströmungen: Bénard-Problem | 479 | ||
| 7.1 Hydrodynamische Grundgleichungen | 486 | ||
| 7.2 Boussinesq-Oberbeck-Approximation | 496 | ||
| 7.3 Lorenz-Modell | 498 | ||
| 7.4 Entwicklung des Lorenz-Systems | 503 | ||
| 8 WegezumChaos | 515 | ||
| 8.1 Landau-Szenario | 515 | ||
| 8.2 Ruelle-Takens-Szenario | 520 | ||
| 8.2.1 Instabilität quasiperiodischer Bewegungen auf dem 3D-Torus | 521 | ||
| 8.2.2 Experimente von Swinney und Gollub | 525 | ||
| 8.3 Universelle Eigenschaften des übergangs von Quasiperiodizit¨at zu Chaos | 529 | ||
| 8.3.1 Der impulsartig erregte gedämpfte Oszillator | 530 | ||
| 8.3.2 Die eindimensionale Kreisabbildung | 533 | ||
| 8.3.3 Skalierungseigenschaften der Kreisabbildung | 545 | ||
| 8.3.3.1 Lokale Skalierungsgesetze | 545 | ||
| 8.3.3.2 Globale Skalierungsgesetze | 556 | ||
| 8.4 Feigenbaum-Route über Periodenverdopplungen ins Chaos | 562 | ||
| 8.4.1 Weitere Skalierungsgesetze der Periodenverdopplungskaskade | 566 | ||
| 8.4.2 Experimenteller Nachweis der Feigenbaum-Route | 577 | ||
| 8.5 Quasiperiodischer Übergang bei fester Windungszahl | 581 | ||
| 8.5.1 Skalierungseigenschaften des quasiperiodischen Übergangs | 582 | ||
| 8.5.2 Multifraktale Strukturen | 589 | ||
| 8.5.3 Experimenteller Nachweis des quasiperiodischen Übergangs | 598 | ||
| 8.6 Der Weg über Intermittenz ins Chaos | 604 | ||
| 8.6.1 Intermittenz bei der logistischen Abbildung | 605 | ||
| 8.6.2 Klassifikation der Intermittenz | 610 | ||
| 8.6.3 Typ I-Intermittenz | 612 | ||
| 8.6.4 Typ III-Intermittenz | 621 | ||
| 8.6.5 Typ II-Intermittenz | 627 | ||
| 8.7 Wege aus dem Chaos, Steuerung des Chaos | 630 | ||
| 8.7.1 Chaos-Kontrolle ohne Rückkopplung | 633 | ||
| 8.7.2 Chaos-Kontrolle mit Rückkopplung | 634 | ||
| 9 Turbulenz | 639 | ||
| 9.1 Dynamik inkompressibler Flüssigkeiten | 644 | ||
| 9.1.1 Die hydrodynamischen Grundgleichungen | 644 | ||
| 9.1.2 Die lokale Energiedissipationsrate | 647 | ||
| 9.1.3 Die Wirbeltransportgleichung | 649 | ||
| 9.1.4 Die Lagrangesche Behandlung von Flüssigkeitsströmungen | 653 | ||
| 9.1.5 Lagrangesche kohärente Strukturen | 656 | ||
| 9.1.6 Hydrodynamische Wirbel | 661 | ||
| 9.1.6.1 Lamb-Oseen-Wirbel | 661 | ||
| 9.1.6.2 Gestreckte Wirbel | 663 | ||
| 9.1.6.3 Lundgren-Wirbel | 666 | ||
| 9.2 Vom Chaos zur Turbulenz | 666 | ||
| 9.2.1 Chaos in Flüssigkeitströmungen | 666 | ||
| 9.2.2 Dynamik von Punktwirbeln in zweidimensionalen idealen | 666 | ||
| 9.2.2.1 Der Hamiltonsche Charakter der Punktwirbeldynamik | 668 | ||
| 9.2.2.2 Zwei Punktwirbel | 669 | ||
| 9.2.2.3 Drei Punktwirbel | 671 | ||
| 9.2.2.4 Vier Punktwirbel | 674 | ||
| 9.2.2.5 Mischung durch Punktwirbel | 676 | ||
| 9.2.3 Die Onsagersche Gleichgewichtstheorie | 677 | ||
| 9.2.3.1 Viskosität | 677 | ||
| 9.3 Turbulenz: Determinismus und Stochastizität | 679 | ||
| 9.3.1 Statistische Mittelwertbildung | 679 | ||
| 9.3.2 Momentengleichungen: Das Schließungsproblem der Turbulenz | 681 | ||
| 9.3.3 Zerfallende Turbulenz | 682 | ||
| 9.3.4 Reynoldssche Gleichung und Turbulenz-Modellierung | 682 | ||
| 9.4 Charakteristische Skalen der Turbulenz | 685 | ||
| 9.4.1 Taylor-Hypothese | 685 | ||
| 9.4.2 Phänomenologie des Wirbelzerfalls und Energiekaskade | 685 | ||
| 9.4.3 Die integrale Länge | 686 | ||
| 9.4.4 Die Kolmogorovschen Skalen | 687 | ||
| 9.4.5 Die Taylor-Länge | 687 | ||
| 9.4.6 Die Taylor-Reynolds-Zahl | 688 | ||
| 9.5 Die turbulente Kaskade | 688 | ||
| 9.5.1 Die von Kármán-Howarth-Relation | 688 | ||
| 9.5.2 Das Energiespektrum | 691 | ||
| 9.5.3 Die Energiekaskade in der dreidimensionalen Turbulenz | 692 | ||
| 9.5.4 Heisenbergs Theorie | 694 | ||
| 9.6 Die Kolmogorovsche Theorie der lokal isotropen Turbulenz | 696 | ||
| 9.6.1 Die Evolutionsgleichung für die Geschwindigkeitsinkremente | 696 | ||
| 9.6.2 Die Energiebilanz des Geschwindigkeitsinkrementes | 697 | ||
| 9.6.3 Die gemittelte Energiebilanzgleichung | 699 | ||
| 9.6.3.1 Homogene Turbulenz | 699 | ||
| 9.6.3.2 Homogene, isotrope Turbulenz | 700 | ||
| 9.6.3.3 Das Kolmogorovsche -4/5 Gesetz | 700 | ||
| 9.6.3.4 Dissipationsbereich | 701 | ||
| 9.6.3.5 Inertialbereich | 702 | ||
| 9.6.4 Die Kolmogorovsche Theorie K41 | 702 | ||
| 9.6.4.1 Universalität der Statistik der kleinskaligen Turbulenz | 703 | ||
| 9.6.4.2 Ähnlichkeitsverhalten im Inertialbereich | 704 | ||
| 9.6.4.3 Selbstähnlichkeit und fraktale Skalengesetze | 704 | ||
| 9.6.4.4 Experimentelle Überprüfung der Selbstä hnlichkeitshypothese | 706 | ||
| 9.6.5 Das Phänomen der Intermittenz | 707 | ||
| 9.6.6 Kolmogorov K62 | 708 | ||
| 9.6.7 Multifraktales Modell | 710 | ||
| 9.6.8 Multiskalen-Statistik | 712 | ||
| 9.7 Ausblick | 718 | ||
| 9.8 Anhang: Isotrope Tensorfelder | 719 | ||
| 9.8.1 Longitudinale und transversale Korrelationsfunktionen | 721 | ||
| 9.8.1.1 Die Korrelationsfunktion dritter Ordnung | 722 | ||
| 9.8.2 Korrelationsfunktionen für inkompressible, isotrope und homogene Felder | 723 | ||
| 9.8.2.1 Die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung | 723 | ||
| 9.8.2.2 Die Korrelationsfunktion dritter Ordnung | 723 | ||
| 9.8.3 Strukturfunktionen inkompressibler Felder | 724 | ||
| 9.8.3.1 Strukturfunktion zweiter Ordnung | 724 | ||
| 9.8.3.2 Strukturfunktion dritter Ordnung | 725 | ||
| 10 Computerexperimente | 727 | ||
| 10.1 Einblick in Knochenumbauprozesse | 730 | ||
| 10.2 Hénon-Abbildung | 746 | ||
| 10.3 Wiederbegegnung mit dem Lorenz-System | 753 | ||
| 10.4 Van der Polsche Gleichung | 759 | ||
| 10.4.1 Selbsterregte Schwingung | 760 | ||
| 10.4.2 Fremderregter Van der Pol Oszillator | 766 | ||
| 10.5 Duffing-Gleichung | 782 | ||
| 10.6 Shilnikov-Bifurkationen | 804 | ||
| 10.7 Julia-Mengen und ihr Ordnungsprinzip | 814 | ||
| 10.8 Struktur der Arnold-Zungen | 828 | ||
| 10.9 Zur Kinetik chemischer Reaktionen an Einkristall- Oberflächen | 838 | ||
| 10.9.1 Oxidation von Wasserstoff an einer Platin-Elektrode | 839 | ||
| 10.9.2 Zur Kinetik der katalytischen Oxidation von CO an Pt(110) | 842 | ||
| 10.9.2.1 Phänomenologie der katalytischen Oxidation | 842 | ||
| 10.9.2.2 Schrittweise Formulierung eines kinetischen Modells | 846 | ||
| 10.9.3 Identifikation von Chaos und Hyperchaos bei kinetischen Oberfl¨achenreaktionen | 853 | ||
| 10.9.4 Raumzeitliche Musterbildung | 856 | ||
| Farbtafeln | 865 | ||
| Literaturverzeichnis | 897 | ||
| Index | 920 |