Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieurinnen und Naturwissenschaftlerinnen
von: Hans-Jochen Bartsch
Carl Hanser Fachbuchverlag, 2011
ISBN: 9783446430259
Sprache: Deutsch
852 Seiten, Download: 8482 KB
Format: PDF, auch als Online-Lesen
Vorwort | 8 | ||
Inhaltsverzeichnis | 10 | ||
1 Logik, Mengen, Zahlensysteme | 24 | ||
1.1 Aussagenlogik | 24 | ||
1.1.1 Allgemeines | 24 | ||
1.1.2 Ein- und zweistellige BOOLEscheFunktionen | 26 | ||
1.1.3 BOOLEsche Algebra | 28 | ||
1.1.4 Normalformen | 30 | ||
1.2 Prädikatenlogik | 32 | ||
1.3 Mengen | 33 | ||
1.3.1 Allgemeines | 33 | ||
1.3.2 Mengenoperationen | 36 | ||
1.3.3 Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln | 38 | ||
1.3.4 Relationen | 39 | ||
1.3.5 Intervalle | 41 | ||
1.3.6 Unscharfe Mengen | 41 | ||
1.4 Zahlensysteme | 43 | ||
1.4.1 Polyadische Zahlensysteme | 43 | ||
1.4.2 Römisches Zahlensystem | 48 | ||
2 Arithmetik | 49 | ||
2.1 Menge der reellen Zahlen | 49 | ||
2.1.1 Standard-Zahlenmengen | 49 | ||
2.1.2 Grundoperationen an reellen Zahlen | 51 | ||
2.1.2.1 Die vier Grundrechenarten | 51 | ||
2.1.2.2 Proportionen, Verhältnisgleichungen | 55 | ||
2.1.2.3 Prozentrechnung | 56 | ||
2.1.2.4 Näherung | 57 | ||
2.1.2.5 Fehlerrechnung | 58 | ||
2.1.2.6 Betrag und Signum | 59 | ||
2.1.2.7 Summen- und Produktzeichen | 60 | ||
2.1.3 Potenzen und Wurzeln | 62 | ||
2.1.4 Logarithmen | 64 | ||
2.1.5 Fakultät und Binomialkoeffizient | 66 | ||
2.2 Menge der komplexen Zahlen | 69 | ||
2.2.1 Grundbegriffe | 69 | ||
2.2.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen | 72 | ||
2.2.3 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen | 73 | ||
2.2.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen | 74 | ||
2.2.5 Natürliche Logarithmen komplexer Zahlen | 76 | ||
2.3 Kombinatorik | 77 | ||
2.3.1 Permutationen | 77 | ||
2.3.2 Variationen | 79 | ||
2.3.3 Kombinationen | 80 | ||
2.4 Folgen | 82 | ||
2.4.1 Allgemeines | 82 | ||
2.4.2 Schranken, Grenzen, Grenzwert einer Folge | 83 | ||
2.4.3 Arithmetische und geometrische Folgen | 86 | ||
2.4.4 Finanzmathematik | 89 | ||
2.4.4.1 Zinsrechnung | 89 | ||
2.4.4.2 Zinseszinsrechnung | 90 | ||
2.4.4.3 Rentenrechnung | 91 | ||
2.4.4.4 Schuldentilgung, Annuität | 92 | ||
3 Algebra (Gleichungen) | 94 | ||
3.1 Allgemeines | 94 | ||
3.2 Lineare algebraische Gleichungen | 98 | ||
3.2.1 Lineare Gleichungen/Ungleichungen mit einer Variablen | 98 | ||
3.2.2 Lineare Gleichungen/Ungleichungen mit mehreren Variablen | 100 | ||
3.3 Nichtlineare Gleichungen | 103 | ||
3.3.1 Nichtlineare algebraische Gleichungen | 104 | ||
3.3.1.1 Quadratische Gleichungen/Ungleichungen mit einer Variablen | 104 | ||
3.3.1.2 Quadratisches Gleichungssystem mit zwei Variablen | 105 | ||
3.3.1.3 Kubische Gleichungen | 107 | ||
3.3.1.4 Gleichungen 4. Grades | 108 | ||
3.3.1.5 Symmetrische Gleichungen | 109 | ||
3.3.1.6 Algebraische Gleichungen n-ten Grades | 110 | ||
3.3.1.7 HORNER-Schema | 111 | ||
3.3.1.8 Wurzelgleichungen mit einer Variablen | 113 | ||
3.3.2 Transzendente Gleichungen | 114 | ||
3.3.2.1 Exponentialgleichungen | 114 | ||
3.3.2.2 Logarithmische Gleichungen | 114 | ||
3.3.2.3 Goniometrische Gleichungen | 115 | ||
3.3.2.4 Betragsgleichungen, Betragsungleichungen | 116 | ||
3.4 Numerische Verfahren | 117 | ||
3.4.1 Verfahren von MULLERfür Polynome | 117 | ||
3.4.2 Fixpunktiteration | 120 | ||
3.4.3 NEWTONsches (Tangenten-)Näherungsverfahren | 122 | ||
3.4.4 Sekantenmethode (Regula falsi) | 124 | ||
3.4.5 Einschlussverfahren | 125 | ||
3.5 Nichtlineare Gleichungssysteme | 127 | ||
3.5.1 Allgemeines | 127 | ||
3.5.2 Iterationsverfahren | 128 | ||
3.5.3 Quadratisch konvergentes NEWTON-Verfahren | 129 | ||
3.6 Grafische Lösung von Gleichungen | 130 | ||
4 Elementare (klassische) Geometrie | 132 | ||
4.1 Planimetrie, ebene Trigonometrie | 132 | ||
4.1.1 Winkel | 132 | ||
4.1.2 Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz, Symmetrie | 134 | ||
4.1.3 Dreieck | 137 | ||
4.1.3.1 Schiefwinkliges Dreieck | 138 | ||
4.1.3.2 Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck | 143 | ||
4.1.3.3 Rechtwinkliges Dreieck | 144 | ||
4.1.4 Vierecke | 146 | ||
4.1.4.1 Trapez | 146 | ||
4.1.4.2 Parallelogramme | 147 | ||
4.1.4.3 Unregelmäßige Vierecke mit Umkreis bzw. Inkreis | 148 | ||
4.1.5 Vielecke (Polygone) | 149 | ||
4.1.5.1 Ebene sternförmige n-Ecke | 149 | ||
4.1.5.2 Regelmäßige (reguläre) Vielecke | 149 | ||
4.1.5.3 Einige bestimmte regelmäßige Vielecke | 150 | ||
4.1.5.4 Konstruktion der einfachen regelmäßigen Vielecke | 151 | ||
4.1.6 Der Kreis | 152 | ||
4.1.6.1 Sätze zum Kreis | 152 | ||
4.1.6.2 Kreisberechnungen | 153 | ||
4.2 Geometrische Körper (Stereometrie) | 155 | ||
4.2.1 Allgemeines | 155 | ||
4.2.2 Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache) | 157 | ||
4.2.2.1 Prismatische Körper | 157 | ||
4.2.2.2 Pyramide, Pyramidenstumpf | 158 | ||
4.2.2.3 Prismoid | 159 | ||
4.2.2.4 Die fünf regelmäßigen Polyeder | 160 | ||
4.2.3 Krummflächig begrenzte Körper | 162 | ||
4.2.3.1 Zylinder, Zylinderabschnitt | 162 | ||
4.2.3.2 Kegel, Kegelstumpf | 163 | ||
4.2.3.3 Kugel | 164 | ||
4.2.3.4 Tonne, Torus | 166 | ||
4.2.3.5 Fraktale Geometrie | 166 | ||
4.3 Sphärische Trigonometrie | 168 | ||
4.3.1 Allgemeines | 168 | ||
4.3.2 Rechtwinkliges sphärisches Dreieck | 169 | ||
4.3.3 Schiefwinkliges sphärisches Dreieck | 170 | ||
4.3.4 Berechnung sphärischer Dreiecke | 172 | ||
4.3.5 Mathematische Geografie | 173 | ||
5 Lineare Algebra | 176 | ||
5.1 Vektorraum | 176 | ||
5.2 Matrizen | 180 | ||
5.2.1 Matrizenarten, Definitionen | 180 | ||
5.2.1.1 Allgemeines | 180 | ||
5.2.1.2 Quadratische Matrizen | 182 | ||
5.2.1.3 Inverse Matrix, (Um-)Kehrmatrix A-1 | 188 | ||
5.2.1.4 Rang einer Matrix | 189 | ||
5.2.1.5 Matrizennormen | 190 | ||
5.2.1.6 Grenzwert, Differenzialquotient, Integral | 191 | ||
5.2.2 Matrizengesetze | 191 | ||
5.2.2.1 Gleichheit und Summe zweier Matrizen | 191 | ||
5.2.2.2 Multiplikation von Matrizen | 191 | ||
5.2.3 Matrizengleichungen | 194 | ||
5.2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen | 195 | ||
5.2.5 Numerische Verfahren | 198 | ||
5.2.5.1 HOUSEHOLDER-Orthogonalisierung (-Transformation) | 198 | ||
5.2.5.2 QR-Verfahren | 199 | ||
5.2.5.3 Vektoriteration (Potenzmethode, v.-MISES-Verfahren) | 200 | ||
5.3 Determinanten | 201 | ||
5.3.1 Determinante einer quadratischen Matrix | 201 | ||
5.3.2 Berechnung von Determinanten | 202 | ||
5.3.3 Rechenregeln für Determinanten | 204 | ||
5.3.4 Praktische Berechnung einer Determinante | 205 | ||
5.4 Lineare Gleichungssysteme | 206 | ||
5.4.1 Allgemeines | 206 | ||
5.4.2 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme | 207 | ||
5.4.3 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme | 209 | ||
5.4.3.1 Einfacher und verketteter GAUSSscher Algorithmus | 210 | ||
5.4.3.2 GAUSSscher Algorithmus für Systeme mit gleicher Matrix A und m rechten Seiten | 214 | ||
5.4.3.3 GAUSS-JORDAN-Verfahren zur Matrixinversion | 215 | ||
5.4.3.4 GAUSSscher Algorithmus für symmetrische,positiv definite Koeffizientenmatrix, CHOLESKY-Verfahren | 216 | ||
5.4.3.5 Gleichungssysteme mit symmetrischer, tridiagonaler, positiv definiter Matrix | 217 | ||
5.4.3.6 GAUSS-SEIDELsches Iterationsverfahren | 217 | ||
5.4.3.7 Austauschverfahren | 221 | ||
5.4.4 CRAMERsche Regel | 221 | ||
5.4.5 Überbestimmte lineare Gleichungssysteme | 222 | ||
5.5 Lineare Optimierung | 224 | ||
5.5.1 Allgemeines | 224 | ||
5.5.2 Grafische Lösung für zwei Variable | 226 | ||
5.5.3 Simplexalgorithmus | 227 | ||
5.6 Abbildungen | 231 | ||
5.6.1 Lineare Abbildungen | 231 | ||
5.6.2 Affine Abbildungen | 234 | ||
5.6.2.1 Allgemeines | 234 | ||
5.6.2.2 Allgemeine, nicht winkeltreue affine Abbildungen | 239 | ||
5.6.2.3 Ähnlichkeitsabbildungen | 242 | ||
5.6.2.4 Kongruenzabbildungen | 243 | ||
5.7 Koordinatentransformation | 246 | ||
5.7.1 Allgemeines | 246 | ||
5.7.2 Orthogonale Koordinatentransformation in der Ebene | 247 | ||
5.7.3 Orthogonale Koordinatentransformation im Raum | 248 | ||
6 Vektoren, Analytische Geometrie | 252 | ||
6.1 Vektoren, Grundlagen | 252 | ||
6.2 Vektoralgebra | 257 | ||
6.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren | 257 | ||
6.2.2 Multiplikation von Vektoren | 259 | ||
6.2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar | 259 | ||
6.2.2.2 Skalarprodukt (inneres Produkt, Punktprodukt) | 259 | ||
6.2.2.3 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) | 261 | ||
6.2.2.4 Mehrfache Produkte von Vektoren | 263 | ||
6.3 Koordinatensysteme | 264 | ||
6.3.1 Allgemeines | 264 | ||
6.3.2 Ebene (2D-)Koordinatensysteme | 265 | ||
6.3.3 Räumliche (3D-)Koordinatensysteme | 266 | ||
6.4 Punkte, Kurven 1. Ordnung | 269 | ||
6.4.1 Punkte | 269 | ||
6.4.2 Gerade, Strahl, Strecke | 270 | ||
6.4.2.1 Punktmengen, Teilung einer Strecke | 270 | ||
6.4.2.2 Gleichungen einer Geraden in der (x, y)-Ebene | 272 | ||
6.4.2.3 Gleichungen einer Geraden im Raum | 274 | ||
6.4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Geraden | 277 | ||
6.4.3 Mehrere Geraden | 278 | ||
6.4.3.1 Schnittpunkt zweier Geraden | 278 | ||
6.4.3.2 Schnittwinkel zweier Geraden | 280 | ||
6.4.3.3 Abstand zweier Geraden | 282 | ||
6.4.3.4 Drei und mehr Geraden | 283 | ||
6.5 Ebenen | 284 | ||
6.5.1 Eine Ebene | 284 | ||
6.5.1.1 Gleichungen einer Ebene im Raum | 284 | ||
6.5.1.2 Richtungskosinus der Normalen einer Ebene | 288 | ||
6.5.1.3 Abstand eines Punktes P1 von einer Ebene | 289 | ||
6.5.1.4 Durchstoßpunkt D einer Geraden durch eine Ebene | 290 | ||
6.5.1.5 Winkel phi zwischen Gerade und Ebene | 291 | ||
6.5.2 Zwei Ebenen | 292 | ||
6.5.3 Drei und mehr Ebenen | 293 | ||
6.5.4 Flächeninhalt, Schwerpunkt, Volumen | 293 | ||
6.6 Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) | 295 | ||
6.6.1 Allgemeines | 295 | ||
6.6.2 Kreis | 297 | ||
6.6.2.1 Gleichungen des Kreises | 297 | ||
6.6.2.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis | 299 | ||
6.6.2.3 Tangente und Normale eines Kreises | 300 | ||
6.6.2.4 Polare eines Punktes in Bezug auf einen Kreis | 300 | ||
6.6.2.5 Potenz p eines Punktes in Bezug auf einen Kreis | 301 | ||
6.6.2.6 Kreisbüschel | 302 | ||
6.6.3 Ellipse | 302 | ||
6.6.3.1 Gleichungen der Ellipse | 302 | ||
6.6.3.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Ellipse | 304 | ||
6.6.3.3 Tangente, Normale und Durchmesser einer Ellipse | 305 | ||
6.6.3.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Ellipse | 306 | ||
6.6.3.5 Krümmung einer Ellipse | 306 | ||
6.6.3.6 Haupt- und Nebenkreis einer Ellipse | 307 | ||
6.6.3.7 Flächeninhalt und Umfang von Ellipse, Ellipsensegment und Ellipsensektor | 307 | ||
6.6.3.8 Ellipsenkonstruktionen | 308 | ||
6.6.4 Parabel | 310 | ||
6.6.4.1 Gleichungen der Parabel | 310 | ||
6.6.4.2 Schnittpunkte einer Geraden mit einer Parabel | 312 | ||
6.6.4.3 Tangente und Normale einer Parabel | 313 | ||
6.6.4.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Parabel | 313 | ||
6.6.4.5 Krümmung einer Parabel | 314 | ||
6.6.4.6 Parabelsegment, Parabelbogen, Brennstrahl | 314 | ||
6.6.4.7 Parabelkonstruktionen | 315 | ||
6.6.5 Hyperbel | 316 | ||
6.6.5.1 Gleichungen der Hyperbel | 317 | ||
6.6.5.2 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Hyperbel | 319 | ||
6.6.5.3 Tangente und Normale einer Hyperbel | 320 | ||
6.6.5.4 Polare eines Punktes in Bezug auf eine Hyperbel | 321 | ||
6.6.5.5 Krümmung einer Hyperbel | 322 | ||
6.6.5.6 Hyperbelsegment und Hyperbelsektor | 323 | ||
6.6.5.7 Hyperbelkonstruktionen | 323 | ||
6.7 Flächen 2. Ordnung | 325 | ||
6.7.1 Allgemeines | 325 | ||
6.7.2 Kugel | 326 | ||
6.7.3 Ellipsoid | 327 | ||
6.7.4 Hyperboloid | 328 | ||
6.7.5 Kegel | 330 | ||
6.7.6 Zylinder | 331 | ||
6.7.7 Paraboloid | 332 | ||
6.8 Hauptachsentransformation | 334 | ||
7 Funktionen | 343 | ||
7.1 Allgemeines | 343 | ||
7.1.1 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen | 343 | ||
7.1.2 Funktionen mit mehreren Variablen | 347 | ||
7.2 Rationale Operationen mit Funktionen | 349 | ||
7.3 Grenzwerte, Unbestimmte Ausdrücke | 350 | ||
7.3.1 Grenzwert einer Funktion | 350 | ||
7.3.2 Unbestimmte Ausdrücke | 353 | ||
7.4 Eigenschaften reller Funktionen | 355 | ||
7.4.1 Ausgewählte Eigenschaften von Funktionen | 355 | ||
7.4.2 Nullstellen einer Funktion | 357 | ||
7.4.3 Stetigkeit einer Funktion | 358 | ||
7.5 Rationale Funktionen | 360 | ||
7.5.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) | 360 | ||
7.5.1.1 Ganzrationale Funktion 1. Grades (lineare Funktion) | 360 | ||
7.5.1.2 Ganzrationale Funktion 2. Grades (quadratische Funktion) | 360 | ||
7.5.1.3 Ganzrationale Funktion 3. Grades (kubische Funktion) | 361 | ||
7.5.2 Zerlegung von Funktionen in Linearfaktoren | 361 | ||
7.5.3 Interpolation | 362 | ||
7.5.3.1 Allgemeines | 362 | ||
7.5.3.2 Interpolationsformel von LAGRANGE | 363 | ||
7.5.3.3 Interpolationsformel von NEWTON | 364 | ||
7.5.3.4 Interpolationsformel von GREGORY-NEWTON | 365 | ||
7.5.3.5 Interpolation durch kubische Polynomsplines | 367 | ||
7.5.3.6 BÉZIER-Splines | 369 | ||
7.5.4 Gebrochenrationale Funktion | 371 | ||
7.5.5 Potenzfunktion | 372 | ||
7.5.6 Sonstige (elementare) Funktionen | 373 | ||
7.6 Nichtrationale Funktionen | 376 | ||
7.6.1 Wurzelfunktion | 376 | ||
7.6.2 Exponentialfunktionen | 377 | ||
7.6.3 Logarithmusfunktionen | 379 | ||
7.6.4 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen | 380 | ||
7.6.4.1 Allgemeines | 380 | ||
7.6.4.2 Goniometrische Beziehungen | 383 | ||
7.6.4.3 Allgemeine Sinusfunktion (harmonische Funktion) | 388 | ||
7.6.4.4 Modulation | 389 | ||
7.6.4.5 Überlagerung (Superposition) von Schwingungen | 391 | ||
7.6.4.6 Multiplikation von Funktionen | 393 | ||
7.6.4.7 Komplexe Zeigerdarstellung von Sinusgrößen | 394 | ||
7.6.5 Zyklometrische Funktionen, Arkusfunktionen | 395 | ||
7.6.6 Hyperbelfunktionen | 399 | ||
7.6.7 Areafunktionen | 403 | ||
7.7 Algebraische Kurven höherer Ordnung | 406 | ||
7.7.1 Kurven 3. Ordnung | 406 | ||
7.7.2 Kurven 4. Ordnung | 408 | ||
7.8 Zykloiden (Rollkurven) | 409 | ||
7.8.1 Gewöhnliche (gespitzte) Zykloide | 409 | ||
7.8.2 Epizykloiden | 410 | ||
7.8.3 Hypozykloiden | 412 | ||
7.9 Spirallinien | 414 | ||
7.9.1 Logarithmische Spirale | 414 | ||
7.9.2 ARCHIMEDIsche Spirale | 415 | ||
7.9.3 Hyperbolische Spirale | 415 | ||
7.10 Sonstige Kurven | 416 | ||
7.10.1 Kettenlinie | 416 | ||
7.10.2 Traktrix (Schleppkurve) | 416 | ||
7.11 Komplexe Funktionen | 417 | ||
7.11.1 Allgemeines | 417 | ||
7.11.2 Konforme Abbildungen | 419 | ||
7.11.2.1 Lineare und quadratische konforme Abbildungen | 419 | ||
7.11.2.2 Inversion (Stürzung) | 421 | ||
8 Differenzialrechnung | 424 | ||
8.1 Funktionen einer Variablen | 424 | ||
8.1.1 Allgemeines | 424 | ||
8.1.2 Erste Ableitungen der elementaren Funktionen | 426 | ||
8.1.3 Differenziationsregeln, Ableitungsregeln | 427 | ||
8.1.3.1 Grundregeln | 427 | ||
8.1.3.2 Höhere Ableitungen und Differenziale | 429 | ||
8.1.3.3 Differenziation impliziter Funktionen F(x, y) = 0 | 430 | ||
8.1.3.4 Differenziation von Funktionen in Parameterform | 431 | ||
8.1.3.5 Differenziation von Funktionen in Polarkoordinaten | 431 | ||
8.1.4 Grafische Differenziation | 432 | ||
8.1.5 Numerische Differenziation | 432 | ||
8.1.6 Logarithmische Differenziation | 433 | ||
8.1.7 Mittelwertsätze | 434 | ||
8.2 Funktionen mehrerer Variablen | 435 | ||
8.2.1 Partielle Ableitung 1. Ordnung | 435 | ||
8.2.2 Höhere partielle Ableitungen | 436 | ||
8.2.3 Totale Ableitungen für zwei Variable | 437 | ||
8.3 Anwendungen, Differenzialgeometrie | 439 | ||
8.3.1 Ebene Kurven | 439 | ||
8.3.1.1 Bogenelement, Differenzial der Bogenlänge | 439 | ||
8.3.1.2 Tangente und Normale | 439 | ||
8.3.1.3 Zwei Kurven | 441 | ||
8.3.1.4 Monotonie und Krümmungsverhalten einer Funktion | 442 | ||
8.3.1.5 Lokale Extrema von Funktionen | 446 | ||
8.3.1.6 Besondere Punkte einer Kurve | 450 | ||
8.3.1.7 Asymptoten | 452 | ||
8.3.1.8 Einhüllende Kurven (Enveloppe) | 453 | ||
8.3.1.9 Kurvendiskussion | 453 | ||
8.3.2 Raumkurven | 453 | ||
8.3.2.1 Darstellungen in kartesischen Koordinaten | 453 | ||
8.3.2.2 Bogenelement einer Raumkurve | 454 | ||
8.3.2.3 Tangente und Normale einer Raumkurve | 454 | ||
8.3.2.4 Krümmung einer Raumkurve | 458 | ||
8.3.2.5 Windung (Torsion) | 459 | ||
8.3.3 Flächen im Raum | 460 | ||
8.3.4 Extremstellen von Funktionen mit mehreren Variablen | 467 | ||
9 Integralrechnung | 470 | ||
9.1 Allgemeines | 470 | ||
9.1.1 Unbestimmtes Integral | 470 | ||
9.1.2 Bestimmtes Integral (RIEMANNschesIntegral) | 471 | ||
9.1.3 Uneigentliche Integrale | 474 | ||
9.2 Grundintegrale, Stammintegrale | 476 | ||
9.3 Integrationsregeln und -verfahren | 477 | ||
9.3.1 Grundregeln | 477 | ||
9.3.2 Integration durch Substitution | 477 | ||
9.3.3 Partielle Integration (Produktintegration) | 481 | ||
9.3.4 Integration nach Partialbruchzerlegung | 481 | ||
9.3.5 Integration nach Reihenentwicklung | 484 | ||
9.3.6 Grafische Integration | 486 | ||
9.4 Numerische Integration | 487 | ||
9.4.1 Allgemeines | 487 | ||
9.4.2 NEWTON-COTES-Formel | 488 | ||
9.4.2.1 Rechteckformel | 490 | ||
9.4.2.2 Sehnentrapezformel | 491 | ||
9.4.2.3 SIMPSONsche Formel, KEPLERscheFassformel | 492 | ||
9.4.2.4 NEWTONsche3/8-Formel | 493 | ||
9.4.2.5 Tangententrapezformel | 494 | ||
9.4.3 GAUSSschesQuadraturverfahren | 494 | ||
9.4.4 ROMBERG-Quadraturverfahren | 495 | ||
9.5 Bereichsintegrale, Gebietsintegrale | 498 | ||
9.5.1 Zweidimensionales Bereichsintegral, Doppelintegral | 498 | ||
9.5.2 Raumintegral, Volumenintegral, Dreifachintegral | 501 | ||
9.6 Anwendungen der Integralrechnung | 502 | ||
9.6.1 Geometrische Anwendungen | 502 | ||
9.6.1.1 Flächeninhalte (Quadratur) | 502 | ||
9.6.1.2 Bogenlänge (Rektifikation) | 505 | ||
9.6.1.3 Mantelflächen von Rotationskörpern | 505 | ||
9.6.1.4 Volumen von Rotationskörpern (Kubatur) | 505 | ||
9.6.1.5 Volumen eines Körpers | 506 | ||
9.6.2 Technisch-physikalische Anwendungen | 507 | ||
9.6.2.1 Bewegungen, Kinematik | 507 | ||
9.6.2.2 Arbeit | 507 | ||
9.6.2.3 Zeitlich veränderliche Ströme und Spannungen | 508 | ||
9.6.2.4 Momente 1. Grades | 508 | ||
9.6.2.5 Schwerpunkte | 510 | ||
9.6.2.6 Momente 2. Grades (Festigkeitslehre) | 512 | ||
9.6.2.7 Massenmomente 2. Grades (Dynamik) | 513 | ||
10 Vektoranalysis | 515 | ||
10.1 Vektorfunktionen | 515 | ||
10.2 Felder | 516 | ||
10.3 Gradient eines skalaren Feldes | 519 | ||
10.4 Divergenz eines Vektorfeldes | 521 | ||
10.5 Rotation eines Vektorfeldes | 523 | ||
10.6 Kurvenintegrale (Linienintegrale) | 525 | ||
10.6.1 Kurvenintegral erster Art | 525 | ||
10.6.2 Kurvenintegral (zweiter Art) | 526 | ||
10.7 Flächenintegrale (Oberflächenintegrale) | 531 | ||
10.7.1 Flächenintegral erster Art | 531 | ||
10.7.2 Flächenintegral zweiter Art | 532 | ||
10.8 Integralsätze | 534 | ||
10.8.1 GAUSSscherIntegralsatz | 534 | ||
10.8.2 STOKESscherIntegralsatz | 536 | ||
11 Differenzialgleichungen | 539 | ||
11.1 Allgemeines | 539 | ||
11.1.1 Differenzialgleichungen, Arten | 539 | ||
11.1.2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen | 540 | ||
11.2 Differenzialgleichungen 1. Ordnung | 545 | ||
11.2.1 Differenzialgleichung mit trennbaren Variablen | 545 | ||
11.2.2 Gleichgradige Differenzialgleichung 1. Ordnung | 547 | ||
11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung | 548 | ||
11.2.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung | 548 | ||
11.2.3.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung | 549 | ||
11.2.4 Totale Differenzialgleichung | 551 | ||
11.2.5 Integrierender Faktor | 552 | ||
11.2.6 BERNOULLIscheDifferenzialgleichung | 553 | ||
11.2.7 RICCATIscheDifferenzialgleichung | 553 | ||
11.2.8 CLAIRAUTscheDifferenzialgleichung | 554 | ||
11.3 Differenzialgleichungen 2. Ordnung | 555 | ||
11.3.1 Sonderfälle, Erniedrigung der Ordnung | 555 | ||
11.3.2 Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten | 557 | ||
11.3.3 Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten | 558 | ||
11.3.4 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten | 559 | ||
11.3.5 Inhomogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten | 563 | ||
11.3.6 BESSELscheDifferenzialgleichung | 565 | ||
11.3.7 Anwendungsfall Schwingungen | 567 | ||
11.4 Differenzialgleichungen n-ter Ordnung | 570 | ||
11.5 Lineare Differenzialgleichungssysteme | 574 | ||
11.6 Näherungslösungen für Differenzialgleichungen 1. Ordnung | 576 | ||
11.6.1 Verfahren unbestimmter Koeffizienten | 576 | ||
11.6.2 Iterationsverfahren | 578 | ||
11.7 Anfangswertprobleme | 579 | ||
11.7.1 Allgemeines | 579 | ||
11.7.2 Explizite Einschrittverfahren | 582 | ||
11.7.2.1 Polygonzugverfahren von EULER-CAUCHY | 582 | ||
11.7.2.2 HEUN-Verfahren | 584 | ||
11.7.2.3 Klassisches Verfahren von RUNGE-KUTTA | 584 | ||
11.7.2.4 Einbettungsformeln | 585 | ||
11.7.3 Mehrschrittverfahren | 585 | ||
11.7.3.1 Explizitverfahren von ADAMS-BASHFORTH | 586 | ||
11.7.3.2 Prädiktor-Korrektor-Verfahren von ADAMS-MOULTON | 586 | ||
11.7.4 Extrapolationsverfahren von BULIRSCH-STOER-GRAGG | 588 | ||
11.8 Randwertprobleme | 588 | ||
11.8.1 Allgemeines | 588 | ||
11.8.2 Schießverfahren | 590 | ||
11.8.3 Direkte Differenzenapproximation | 591 | ||
11.9 Partielle Differenzialgleichungen | 594 | ||
11.9.1 Allgemeines | 594 | ||
11.9.2 Partielle Differenzialgleichung 1. Ordnung | 594 | ||
11.9.3 Partielle Differenzialgleichung 2. Ordnung | 596 | ||
12 Reihen, F- und L-Transformation | 598 | ||
12.1 Unendliche Reihen | 598 | ||
12.1.1 Unendliche Zahlenreihen | 598 | ||
12.1.2 Summen einiger konvergenter Zahlenreihen | 601 | ||
12.1.3 Potenzreihen | 602 | ||
12.1.3.1 Allgemeines | 602 | ||
12.1.3.2 Entwicklung von Funktionen in Potenzreihen | 604 | ||
12.1.4 Numerische Berechnung von Reihen | 607 | ||
12.1.5 Zusammenstellung fertig entwickelter Reihen | 608 | ||
12.1.6 Näherungsformeln | 612 | ||
12.2 FOURIER-Reihen | 614 | ||
12.2.1 FOURIER-Reiheeiner periodischen Funktion | 614 | ||
12.2.2 Numerische harmonische Analyse | 620 | ||
12.2.3 Ausgewählte FOURIER-Reihen | 621 | ||
12.3 FOURIER-Transformationen | 627 | ||
12.4 LAPLACE-Transformationen | 630 | ||
12.4.1 LAPLACE-Transformation,Allgemeines | 630 | ||
12.4.2 Rechenregeln der LAPLACE-Transformation | 632 | ||
12.4.3 Anwendungen der LAPLACE-Transformation | 635 | ||
12.4.3.1 Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen | 635 | ||
12.4.3.2 Test linearer Übertragungsglieder | 639 | ||
12.4.4 Korrespondenztabelle der LAPLACE-Transformation | 642 | ||
13 Statistik, Stochastik | 646 | ||
13.1 Beschreibende (deskriptive) Statistik | 646 | ||
13.1.1 Grundbegriffe | 646 | ||
13.1.2 Lageparameter | 650 | ||
13.1.3 Streuungsparameter | 655 | ||
13.1.4 Korrelation | 658 | ||
13.1.5 Lineare Ausgleichsrechnung | 660 | ||
13.1.5.1 Methode der kleinsten Quadrate | 660 | ||
13.1.5.2 Ausgleichende Gerade | 661 | ||
13.1.5.3 Ausgleichende Parabel | 662 | ||
13.1.5.4 Multiple Regression | 663 | ||
13.1.6 Fehlerfortpflanzung | 664 | ||
13.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung | 668 | ||
13.2.1 Zufallsexperiment und Ereignis | 668 | ||
13.2.2 Definition der Wahrscheinlichkeit | 670 | ||
13.2.3 Sätze über Wahrscheinlichkeiten | 671 | ||
13.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse | 673 | ||
13.2.5 Zufällige Variable | 676 | ||
13.2.6 Kenngrößen von zufälligen Variablen | 679 | ||
13.2.6.1 Erwartungswert | 679 | ||
13.2.6.2 Varianz und Standardabweichung | 681 | ||
13.2.6.3 Schiefe und Exzess | 683 | ||
13.2.7 Ausgewählte diskrete Verteilungen | 684 | ||
13.2.7.1 Diskrete Gleichverteilung | 684 | ||
13.2.7.2 BERNOULLI-Verteilung | 685 | ||
13.2.7.3 Binomialverteilung | 685 | ||
13.2.7.4 POISSON-Verteilung | 688 | ||
13.2.7.5 Hypergeometrische Verteilung | 690 | ||
13.2.7.6 Geometrische Verteilung | 691 | ||
13.2.8 Ausgewählte stetige Verteilungen | 692 | ||
13.2.8.1 Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung) | 692 | ||
13.2.8.2 Normalverteilung | 692 | ||
13.2.8.3 Exponentialverteilung | 698 | ||
13.2.8.4 X²-Verteilung | 699 | ||
13.2.8.5 t -Verteilung (STUDENT-Verteilung) | 700 | ||
13.3 Schließende (induktive) Statistik | 701 | ||
13.3.1 Grundbegriffe | 701 | ||
13.3.2 Punktschätzungen | 702 | ||
13.3.3 Intervallschätzungen | 704 | ||
13.3.3.1 Konfidenzintervall für den Anteil p | 705 | ||
13.3.3.2 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert µ | 706 | ||
13.3.3.3 Konfidenzintervall für die Varianz ò | 709 | ||
13.3.4 Hypothesentests | 710 | ||
13.3.4.1 Allgemeines über Tests | 710 | ||
13.3.4.2 Test über den Anteil p | 712 | ||
13.3.4.3 Tests über den Erwartungswert µ | 715 | ||
13.3.4.4 Test über die Varianz ò | 718 | ||
13.3.4.5 Dz-Anpassungstest | 719 | ||
14 Integraltabellen | 722 | ||
14.1 Integrale rationaler Funktionen | 723 | ||
14.2 Integrale nichtrationaler Funktionen | 733 | ||
14.3 Integrale transzendenter Funktionen | 749 | ||
14.4 Bestimmte und uneigentliche Integrale | 767 | ||
Anhang | 775 | ||
Sachwortverzeichnis | 786 |