Technische Mechanik, Band 2: Festigkeitslehre

1 Einführung (S. 1)

1.1 Aufgabe der Festigkeitsberechnung

In der Statik wurde die Wirkung von Kräften auf starre Körper behandelt. Es zeigte sich, daß es einen absolut starren Körper nicht gibt. Jeder Sto deformiert sich unter der Einwirkung von Kräften. Sind diese Deformationen sehr klein verglichen mit den Gesamtabmessungen des Bauteils, dann kann man sie in vielen Fällen vernachlässigen.

Die Aufgaben der Statik (im Rahmen der Technischen Mechanik) beschränken sich im wesentlichen auf Bestimmung von Auflager-, Gelenk-und Stabkräften von statisch bestimmten Systemen. Die Festigkeitslehre geht einen Schritt weiter und stellt zunächst die Frage nach den durch diese Kräfte verursachten Wirkungen im Bauteil. Um darüber Aussagen machen zu können, ist es notwendig, das Teil durch einen gedachten Schnitt zu zerlegen.

Das Freimachen, wie es im Kapitel 5 des Bandes 1 behandelt wurde, wird hier in der Anwendung auf einzelne Abschnitte eines Bauteiles erweitert. Als Beispiel soll ein statisch bestimmt gelagerter Träger mit beliebiger Belastung betrachtet werden. Die Auflagerreaktionen werden aus den Gleichgewichtsbedingungen für den freigemachten Träger berechnet. Die von der Festigkeitslehre zunächst gestellte Frage nach der Wirkung im Träger, erfordert ein nochmaliges Freimachen eines Teilabschnittes.

Von diesem Teilabschnitt kann man sagen, daß er genau so im Gleichgewicht sein muß wie der ganze Träger (vergleiche Ritterscher Schnitt Band 1, Abschnitt 9.3.1). Aus den Gleichgewichtsbedingungen am Teilabschnitt erhält man die Schnittreaktion, d.h. Momente und Kräfte, die von den Werkstoffteilen im untersuchten Querschnitt übertragen werden müssen, soll der Träger in der vorgegebenen Lage die Lasten aufnehmen.

Die Bestimmung der in den einzelenen Schnitten übertragenen Momente und Kräfte ist aber noch nicht, z.B. für die Berechnung der Abmessungen eines Trägers, ausreichend. Es ist notwendig, in einem weiteren Schritt von den Schnittreaktionen auf die Belastungsintensität der einzelnen Querschnittsteile zu schließen. Ein Maß für diese Belastungsintensität ist die Spannung. Die Herstellung einer Beziehung zwischen den Schnittreaktionen und der Spannung ist nur möglich, wenn es gelingt, Aussagen über die Deformation des Bauteiles zu machen.

Das ist der Punkt, wo die Vorstellung vom starren Körper nicht mehr aufrecht erhalten werden kann. Die konstante Zugspannung in einem zylindrischen Stab unter zentrischem Zug resultiert aus der Überlegung, daß sich alle gedachten Längsfasern um den gleichen Betrag dehnen. Die maximale Spannung in den Außenfasern eines gebogenen Trägers haben ihren Grund in der Tatsache, daß dort die Verlängerung bzw. Zusammendrückung der Fasern am größten ist.

Die somit unumgänglich notwendige Betrachtung der u.U. sehr kleinen Deformation gestattet es, statisch unbestimmte Systeme zu behandeln. Ein System ist statisch unbestimmt, wenn die Zahl der Auflagerreaktionen größer ist als die Zahl der Gleichgewichtsbedingungen. Als Beispiel soll ein dreifach gelagerter Träger betrachtet werden.

Wird dieser als völlig starr betrachtet, ist eine Lösung unmöglich, denn schon eine beliebig geringe Abweichung eines Lagers von der Verbindungslinie der beiden anderen Lager hat zur Folge, daß der völlig starre Träger nur auf zwei Stützen liegt und somit statisch bestimmt geworden ist. Das entspricht aber nicht dem tatsächlichen Verhalten. Die von einem überschüssigen Lager auf den Träger übertragene Kraft ist gerade so groß, daß sie die dort ohne dieses Lager vorhandene Durchbiegung wieder rückgängig macht.

Die Berechnung von Lagerkräften statisch unbestimmter Systeme setzt also voraus, die Werkstoffe als nicht starr anzusehen.