Kapitel 2

Ganz ohne Mathematik geht es nicht

In diesem Kapitel

Definition von Vektoren

Darstellung von Vektoren

Rechnen mit Vektoren

Alles über Dreiecke

Definition der Winkelfunktionen

Rechnen mit Sinus und Kosinus

Physik ist nicht denkbar ohne Mathematik; dies gilt auch für die Technische Mechanik. Im Gegenteil: Der Erfolg der Physik und der Technischen Mechanik beruht gerade darauf, dass man die Zusammenhänge und Probleme mathematisch formulieren kann. Daher gibt es an dieser Stelle eine schlechte und eine gute Nachricht für Sie. Zuerst die schlechte: In diesem Buch spielen die Mathematik und Gleichungen eine große Rolle. Nun kommt die gute Nachricht: Die Mathematik in diesem Buch ist so einfach wie möglich gehalten. Sie beschränkt sich auf folgende Themen:

• Algebra: Gleichungen werden addiert, durcheinander dividiert oder nach einer bestimmten Größe aufgelöst. Mit anderen Worten: Nichts Aufregendes. Das können Sie alles schon.
• Vektorrechnung: Viele Größen in der Mechanik sind Vektoren, haben also sowohl einen Betrag als auch eine Richtung. Sie können sich daher leicht vorstellen, dass Vektoren in diesem Buch eine wirklich große Rolle spielen. Die wichtigsten Tatsachen über Vektoren werden in diesem Kapitel noch einmal zusammengefasst.
• Trigonometrie: Dreiecke und die Winkel in Dreiecken oder zwischen zwei Vektoren spielen in der Mechanik bei der Beschreibung von Situationen und dem Lösen von Aufgaben ebenfalls eine sehr große Rolle. Daher werden in diesem Kapitel auch die wichtigsten Grundlagen der trigonometrischen Funktionen, mit denen man diese Winkel beschreiben kann, noch einmal kurz zusammengefasst.

Nicht alle Aufgabenstellungen der Technischen Mechanik können ohne Differential‐ und Integralrechnung gelöst werden. In diesem Buch werden aber nur die Ergebnisse solcher Rechnungen benutzt; Sie müssen die Rechnungen nicht selbst nachvollziehen.

Auf die Richtung kommt es an: Vektorrechnung

Wozu braucht man Vektoren?

Stellen Sie sich vor, Sie und Ihr Partner steigen gleichzeitig in Kassel (meiner Heimatstadt) in Ihre Autos und fahren zwei Stunden lang mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h, legen also 200 km zurück. Nach der Fahrt suchen Sie nach Ihrem Partner und stellen nach einiger Verwirrung und einigen Telefonaten fest, dass einer von Ihnen in Frankfurt ist, der andere aber in Essen; sie sind also 250 km voneinander entfernt (Abbildung 2.1). Irgendetwas ist falsch gelaufen, aber was? Ganz offensichtlich ist die Größe »zurückgelegter Weg« durch die Angabe der Fahrstrecke nicht eindeutig bestimmt, auch die Richtung muss angegeben werden.

Der zurückgelegte Weg oder in der Physik einfach der Weg ist also eine Größe, die aus zwei Angaben bestehen muss, einer Zahlenangabe (200 km) und einer Richtung (»nach Frankfurt«, »Südsüdwest«). Derartige Größen nennt man Vektoren. Viele physikalische Größen, die Sie schon kennen oder die Sie in diesem Buch kennenlernen werden, sind Vektoren. Dazu gehören neben dem Weg natürlich auch Geschwindigkeit und Beschleunigung, außerdem die Kraft und das Drehmoment, elektrische und magnetische Felder und viele mehr.

Es gibt aber auch physikalische Größen, die keine Richtung besitzen; solche Größen nennt man Skalare. Skalare bestehen also ausschließlich aus einer Zahl (und eventuell der dazugehörigen Einheit). Wichtige Beispiele für skalare physikalische Größen sind die Zeit, aber auch Arbeit und Energie.

Die folgenden Abschnitte beschäftigen sich damit, wie Vektoren definiert sind, wie man sie darstellt und wie man mit ihnen rechnet.

Was ist eigentlich ein Vektor?

Ein Vektor ist eine (physikalische) Größe, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung besitzt.

Ein Beispiel für einen Vektor ist die Geschwindigkeit. Sie besitzt sowohl einen Betrag (100 km/h) als auch eine Richtung. Diese kann auf verschiedene Arten angegeben werden:

• »Nach Frankfurt«
• »Südsüdwest«
• Graphisch in Form eines Pfeils
• In Komponentenschreibweise auf der Basis des kartesischen Koordinatensystems

Die beiden ersten Angaben sind ein wenig vage. Deshalb werden im folgenden Abschnitt die beiden letzteren Darstellungsweisen von Vektoren näher vorgestellt.

Pfeile oder Zahlen: Die Darstellung von Vektoren

Man kann einen Vektor in Form eines Pfeils darstellen, wie in Abbildung 2.2 gezeigt ist. Die Länge des Pfeils gibt den Betrag des Vektors an, seine Richtung natürlich die Vektorrichtung. Die Spitze des Pfeils deutet schließlich den Richtungssinn an.

Die uns umgebende Welt ist dreidimensional. Daher sind auch Vektoren in der Physik und der Mechanik dreidimensional. Allerdings sind die meisten graphischen Darstellungen von Vektoren nur zweidimensional, weil sie dann einfacher zu zeichnen und auch zu verstehen sind. Sie sollten aber stets im Hinterkopf haben, dass Vektoren eigentlich dreidimensionale Größen sind.

Die zweite Möglichkeit der Darstellung von Vektoren beruht auf dem kartesischen Koordinatensystem.

Ein Vektor a wird durch die Angabe seiner Komponenten ax in x‐Richtung, ay in y‐Richtung und az in z‐Richtung gekennzeichnet:

• Beachten Sie, dass Vektoren in diesem Buch stets fett dargestellt sind.

Um ein Beispiel anzuführen:

bedeutet, dass man vom Ausgangspunkt des Vektors 5 Einheiten in x‐Richtung gehen muss, dann –11 Einheiten in y‐Richtung und schließlich 4 Einheiten in z‐Richtung, um den Endpunkt des Vektors, also seine Spitze zu finden.

Die Länge eines Vektors wird Betrag genannt. Er wird durch zwei senkrechte Striche gekennzeichnet. |a| bedeutet also »Betrag des Vektors a«. Für die Berechnung von |a| aus den Komponenten des Vektors gilt folgende Beziehung:

• Dies ist nichts anderes als der Satz von Pythagoras in drei Dimensionen.

Für den Betrag des oben betrachteten Vektors b gilt also

Addition und Subtraktion von Vektoren

Man kann zwei Vektoren so addieren, dass sich ein neuer Vektor ergibt:

Die Addition eines Vektors und einer Zahl ist nicht möglich; das würde der Addition von Äpfeln und Birnen beziehungsweise von 5 Metern und zwei Sekunden entsprechen. Man kann die Addition sowohl graphisch als auch mithilfe von Formeln durchführen. Bei der graphischen Addition setzt man den Startpunkt des zweiten Vektors an das Ende des ersten. Dabei ist die Reihenfolge nicht von Bedeutung, wie Abbildung 2.3 zeigt. Richtung und Länge des Vektors c hängen nicht von der Reihenfolge der Addition ab.

Mathematisch erfolgt die Addition zweier Vektoren durch Addition der einzelnen Komponenten, also:

Auch hier wird deutlich, dass es nicht auf die Reihenfolge ankommt, in der man die Vektoren addiert; es gilt also:

Ein einfaches Beispiel ist die Addition dreier Vektoren, die jeweils die Länge 1 in eine der drei Richtungen des Koordinatensystems besitzen:

Dieses Beispiel ist graphisch in Abbildung 2.4 dargestellt.

Ebenso einfach wie die Addition zweier Vektoren ist ihre Subtraktion; das Ergebnis ist wiederum ein Vektor. Formelmäßig wird sie durch die folgende Gleichung beschrieben:

Graphisch kann man die Subtraktion einfach durchführen, wenn man in Abbildung 2.3, die die Addition darstellt, den Vektor b einfach um 180° dreht, wie Abbildung 2.5 zeigt.

Drei Mal Multiplizieren

Sie kennen natürlich die Multiplikation von Zahlen. Für einfache Aufgaben wie

benutzen Sie das Einmaleins, für etwas schwierigere wie

Ihren Taschenrechner. Was ist aber mit Vektoren? Kann man sie nicht nur addieren, sondern auch multiplizieren? Die Antwort ist einfach: Ja, natürlich. Der Haken an der Sache ist, dass es drei verschiedene Möglichkeiten gibt, Vektoren zu multiplizieren. Alle drei spielen eine wichtige Rolle in der Physik im Allgemeinen und besonders auch in der Technischen Mechanik, sodass sie im Folgenden näher beschrieben werden sollen:

• Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar; das Ergebnis ist ein Vektor.
• Multiplikation zweier Vektoren, sodass sich als Ergebnis eine Zahl (ein Skalar) ergibt; dies ist das sogenannte Skalarprodukt.
• Multiplikation zweier Vektoren, sodass sich als Ergebnis wieder ein Vektor ergibt; dies ist das sogenannte Vektor‐ oder Kreuzprodukt.

Ganz einfach:...