Kapitel 1

Die wesentlichen mathematischen Grundlagen

In diesem Kapitel

Damit Sie die Vorgänge im metallischen Leiter, durch den ein elektrischer Strom fließt, verstehen, müssen Sie sich mit einigen physikalische Größen vertraut machen.

• Physikalische Größen sind messbare Eigenschaften von Objekten, Vorgängen oder Zuständen, wie beispielsweise der elektrische Strom I oder die Zeit t.

Die Verknüpfung zwischen den physikalischen Größen wird durch mathematische Gleichungen hergestellt. Für die Beschreibung der Beziehungen zwischen den Größen benötigen wir einige mathematische Regeln und Gesetze. Abbildung 1.1 zeigt, dass diese in der Elektrotechnik manchmal auch kompliziert aussehen können.

Aber haben Sie keine Angst vor diesen Gleichungen! Sie werden im Laufe dieses Buches alle dargestellten Gleichungen und Kennlinien in nachvollziehbaren Schritten kennenlernen. Und – halten Sie sich fest – am Ende werden Sie sogar Spaß damit haben.

Physikalische Größen und deren Einheiten

Grundsätzlich wird eine physikalische Größe als Produkt aus einem Zahlenwert und deren Einheit, der Basiseinheit, dargestellt. Von einem internationalen Komitee wurden die Basisgrößen Länge, Masse, Zeit und die der Stromstärke im SI‐Einheitensystem, dem »Système international d’unités« (Internationales Einheitensystem), festgelegt, wie es Tabelle 1.1 darstellt. Zusätzlich zu den genannten Größen wurde die Einheit der Temperatur, der Lichtstärke und Stoffmenge definiert. Alle anderen, in der Praxis verwendeten Einheiten lassen sich von diesen Größen des SI‐Einheitensystems ableiten.

Die Kennzeichnung der physikalischen Größe mit einem Symbol, einem kursiv geschriebenen Buchstaben, ist Ihnen als Formelzeichen bekannt. Für die elektrische Spannung ist U das Formelzeichen, die Einheit ist Volt oder abgekürzt V. Die Einheit »Volt« leitet sich vom Erfinder der Volta‐Säule – der ersten Batterie – ab, die Alessandro Volta (1745–1827) im Jahre 1800, auf die Versuche von Luigi Galvani (1737–1798) und dessen Experimenten zur »tierischen Elektrizität« aufbauend, konstruierte.

Eine aus der Mechanik abgeleitete Größe ist die Geschwindigkeit v, die Sie aus der Physik als Verhältnis von zurückgelegter Wegstrecke – mit dem Formelzeichen s – zur dafür benötigten Zeit – mit dem Formelzeichen t – kennen, sodass wir schreiben:

Dies ist die Größengleichung, die Sie auch unter dem Begriff Formel kennen. Eine solche Größengleichung besitzt eine zugehörige Einheitengleichung, in der das Formelzeichen kursiv und in eckigen Klammern und die Einheit auf der anderen Seite steht. Für die Strecke s ist das die Einheit [s] = m für Meter, für die Zeit t ist es die Einheit [t] = s für Sekunden. Die Einheitengleichung zur Geschwindigkeit lautet damit:

Die Formel für die Geschwindigkeit zeigt Ihnen, dass für deren Berechnung die Messung des Weges s und der Zeit t ausreicht. Die Geschwindigkeit ist im SI‐Einheitensystem deshalb keine Basisgröße, sondern eine hiervon abgeleitete Größe.

• Sicher ist Ihnen aufgefallen, dass in diesem Beispiel der Buchstabe s als Formelzeichen für die Strecke und als Einheit (s) für die Sekunde verwendet wird. Deshalb ist es ratsam, Formelzeichen kursiv (V) und Einheiten aufrecht (V) darzustellen. Dies dient der Vermeidung von Verwechslungen und der besseren Lesbarkeit.

Damit wir bei Maßangaben nicht mit sehr großen oder kleinen Zahlen arbeiten müssen, benutzen wir Einheitenvorsätze, wie Kilo. Statt 40.000.000 m schreiben wir 40.000 km. Eine in der Elektrotechnik gebräuchliche Schreibweise ist die mit Zehnerpotenzen. Statt 40.000.000 m schreiben wir 4 · 107 m. Die wissenschaftliche Schreibweise mit Zehnerpotenzen wird immer dann eingesetzt, wenn keine Vorsätze möglich sind. Die für uns gebräuchlichsten Vorsätze sind in Tabelle 1.2 zusammengefasst.

Hier einige Beispiele für typische Größenangaben in der Elektrotechnik:

In Tabelle 1.3 sind die für die Elektrotechnik aus SI‐Einheiten abgeleiteten Größen dargestellt.

Nachdem wir die physikalischen Größen und deren Einheiten kennen, wenden wir uns Skalaren und Vektoren und deren Rechenregeln zu.

Skalare und Vektoren zur Darstellung von Feldern

Als weitere Unterscheidung werden physikalische Größen in Skalare und Vektoren eingeteilt.

• Ein Skalar ist eine Größe, die nur einen Betrag oder eine Länge besitzt. So ist der Druck P eine skalare Größe mit einem bestimmten Wert; auch die Zeit t ist eine skalare Größe, weil diese nur einen Wert, aber keine Richtung besitzt. Ein Vektor ist eine Größe, die einen Betrag und eine Richtung besitzt. So ist die Geschwindigkeit v ein Vektor, weil Sie deren Betrag stets mit einer Richtung angeben. Beispielsweise fahren Sie mit der Geschwindigkeit von 100 km/h nach München.

Eine skalare Größe wird mit kursivem Buchstaben gekennzeichnet, wie P für den Druck. Eine vektorielle Größe wird in diesem Buch stets mit einem Pfeil über dem...