Einleitung

Mal ganz ehrlich: Haben Sie heute Morgen beim Aufstehen damit gerechnet, diese Einleitung zu einem Algebra-Buch zu lesen? Stand es ganz oben auf Ihrer Zu-erledigen-Liste? Ich bin froh, dass Sie damit angefangen haben, aber: Warum tun Sie es?

Sie befinden sich wahrscheinlich in einer der beiden folgenden Situationen:

• Sie haben den Schritt gewagt und dieses Buch gekauft.
• Sie schauen erst einmal, was Sie erwartet, bevor Sie sich zum Kauf entschließen.

In beiden Fällen wünschen Sie sich vermutlich eine gute Begründung, warum Sie sich die Mühe machen sollten, dieses Buch zu lesen und Algebra zu lernen.

Eine der Fragen, die man am häufigsten in Mathematik-Klassen hört, lautet: »Wofür werde ich das je brauchen?« Manche Lehrer können darauf eine gute und überzeugende Antwort geben. Andere winden sich verlegen und starren schweigend auf den Boden. Meine Lieblingsantwort ist: »Algebra verleiht Macht.« Algebra verleiht einem die Macht, höhere und wichtigere Mathematik zu verstehen. Algebra verleiht einem die Macht, zu wissen, dass man etwas weiß, was der Nachbar nicht weiß. Algebra verleiht einem die Macht, jemand anderem bei einer Algebra-Aufgabe zu helfen oder seinem Kind logische mathematische Zusammenhänge zu erklären. Algebra ist ein universales und auf der ganzen Welt verstandenes System von Zeichen und Regeln. Algebra bietet ein klares, systematisches und vor allem nachvollziehbares Verfahren. Es ist ein organisierendes Hilfsmittel, das unter Befolgung der entsprechenden Regeln sehr nützlich ist. Was für eine Macht!

Dieses Buch ist kein Krimi: Sie müssen es nicht an einem Stück von vorne bis hinten lesen. Sie können einen Blick in das letzte Kapitel wagen, ohne sich die Spannung verderben zu lassen. Das Buch ist unterteilt in umfassende Themen: von den ersten Grundlagen bis hin zu wichtigem Handwerkszeug wie faktorisieren, Gleichungen erstellen oder Algebra konkret anwenden. Ich habe versucht, die Regeln an möglichst vielen verschiedenen Beispielen zu illustrieren, von denen jedes einen anderen Zugang zum Problem aufzeigt. Um das Verständnis zu erleichtern, werden die Beispiele Schritt für Schritt erklärt.

Das verwendete Vokabular ist mathematisch korrekt und gleichzeitig verständlich. Ich hoffe, dass sich Ihnen neben dem »Wie« auch das »Warum« der Algebra erschließt. Meistens ist es einfacher, sich an eine Regel zu erinnern, wenn man sie verstanden hat – anstatt einer bedeutungslosen Liste von Anleitungen zu folgen.

Über dieses Buch

Wenn Sie einen ersten Zugang zur Algebra suchen, finden Sie alles, was Sie brauchen, in Teil I des Buchs. Diese Grundlagen kann man mit dem Grundwissen eines Kochs vergleichen: Es ist unmöglich, ein Soufflé zuzubereiten, ohne zu wissen, wie man Eier schlägt oder den Ofen anschaltet. Ihre späteren Erfolge werden von Ihren Vorbereitungen abhängen. Es kann natürlich sein, dass Sie die Grundlagen schon draufhaben. Sehr schön! Wie wäre es dann mit Teil II?

Im zweiten Teil erkläre ich sehr ausführlich das Faktorisieren. Faktorisieren ist wirklich nicht mehr, als das Aussehen eines Terms zu verändern, indem alles zum Produkt geschrieben wird. Man kann lernen, welche der Techniken des Faktorisierens man anwenden muss, wenn man bei einer Aufgabe nicht weiterkommt.

Und falls Sie auf Gleichungen aus sind: In Teil III finden Sie jede Art von Gleichung, die Sie sich wünschen könnten – von den ganz einfachen bis zu den komplexesten. Je schwieriger die Gleichungen werden, desto mehr Regeln und Methoden kommen zur Anwendung. Als Ausgleich werden natürlich auch Ungleichungen geboten.

Teil IV beantwortet hauptsächlich die Frage: »Wofür das Ganze?« Die Beispiele in diesen Kapiteln sind eher von praktischer Natur und befassen sich mit den Anwendungsmöglichkeiten der Algebra, also Dingen, die Sie tatsächlich einmal brauchen können.

Der Top-Ten-Teil bietet ein paar hilfreiche Verzeichnisse. Vielleicht sind für Sie nur zwei oder drei Punkte einer Liste relevant oder Sie lesen sich den ganzen Teil von vorn bis hinten durch – nutzen Sie diese kleine Hilfe, wie Sie möchten.

Haben Sie Spaß mit Algebra! Stellen Sie sich dieses Buch vor wie die »Hilfe«-Taste des Computers: Wenn Sie ein Problem haben, werden Sie die Antwort finden (und das hoffentlich verständlicher als bei einigen dieser Computer-»Hilfen«).

Konventionen in diesem Buch

Es gibt zwei Arten, Zahlen auszudrücken: als sogenannte arabische Ziffern oder als ausgeschriebene Wörter. Ich habe versucht, auch in den Beschreibungen möglichst oft arabische Zahlen zu verwenden, um die Beispiele so übersichtlich wie möglich zu gestalten.

Fachausdrücke sind kursiv gesetzt und werden erklärt. Die wichtigsten Ausdrücke finden Sie zum schnellen Nachschlagen auch am Ende des Buchs im Glossar.

Ich arbeite mit vielen Schritt-für-Schritt-Anleitungen, um die Sachverhalte wirklich klar darzustellen. Meistens folgen diesen generellen Schritten ein paar Beispiele, damit Sie lernen, die Regeln in verschiedenen Situationen anzuwenden.

Was Sie nicht lesen müssen

Sie können schon eine Menge lernen, wenn Sie sich lediglich von Symbol zu Symbol (die verschiedenen Arten von Symbolen lernen Sie weiter unten kennen) durcharbeiten. Diese Texte fassen den Stoff sehr knapp zusammen. Wenn Sie allerdings mehr ins Detail gehen möchten, müssen Sie auch »zwischen den Zeichen« lesen.

Viele der grauen Kästchen bieten historische Informationen – Mathematiker-Leben liefern zwar keine Hollywood-Stoffe, aber einige dieser Persönlichkeiten haben ziemlich interessante Dinge getan. Hier finden Sie auch ein paar meiner Lieblingsanekdoten für eine gelegentliche Abwechslung. Sie können sich selbst aussuchen, wie viele und welche dieser Geschichten Sie lesen möchten.

Törichte Annahme über den Leser

Ich nehme nicht an, dass Sie so verrückt nach Mathematik sind wie ich – vielleicht sind Sie noch viel versessener darauf! Auf jeden Fall nehme ich an, dass Sie hier eine Aufgabe zu erfüllen haben – Ihr Wissen wieder aufzufrischen, Ihre grauen Zellen zu trainieren oder einfach neugierig zu sein. Ich nehme außerdem an, dass Sie schon einmal mit Algebra zu tun hatten, ob sehr intensiv für kurze Zeit, über einen längeren Zeitraum vor langer Zeit oder auch nur ganz unerheblich.

Wahrscheinlich hatten Sie Mathematik in der Schule. Vielleicht können Sie sich auch an einen Ihrer Mathe-Lehrer erinnern. Ich persönlich erinnere mich daran, wie Frau Pohl sagte: »Das ist ein n.« Meine ganze heilige Zahlenwelt war plötzlich durcheinandergebracht. Möchten Sie noch einmal Algebra lernen, um diesen fast vergessenen Unterricht aufzufrischen? Oder kommt Ihre Tochter oder Ihr Sohn mit einer Aufgabe nach Hause, die Ihr Erinnerungsvermögen übersteigt? Keine Angst – Hilfe liegt vor Ihnen!

Wie dieses Buch aufgebaut ist

Wo finden Sie einfach, was Sie schnell brauchen? Dieses Buch untergliedert sich in Abschnitte, die sortiert sind nach den meistdiskutierten und gelehrten Begriffen der elementaren Algebra.

Teil I: Einmal ganz von vorne

Die »Gründerväter« der Algebra gründeten alle ihre Regeln auf der Voraussetzung, dass man sich über ein paar wesentliche Dinge einig ist. Das ist wie in der Sprache: Jeder wird zustimmen, dass das Wort »Tisch« beispielsweise immer die gleiche Sache bezeichnet. Das gilt ebenso für die Algebra. Jeder bedient sich derselben Regeln bei Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, den Brüchen, Exponenten und so weiter. Algebra könnte nicht funktionieren, wenn die elementaren Regeln für jeden anders aussehen würden; es wäre nicht möglich zu kommunizieren. Die Grundregeln, die ich in Teil I beschreibe, sollen Ihnen einen Überblick geben über all diese Konventionen, auf die man sich im Laufe der Jahre verständigt hat.

Hier finden Sie die Grundlagen der Arithmetik, der Brüche, der Potenzen und der Vorzeichen. Dieses Handwerkszeug werden Sie brauchen, um mit dem Stoff der folgenden Kapitel klarzukommen. Die Einführung konzentriert sich auf die häufig gebrauchten Algebra-Techniken. Wenn Sie mit den späteren Kapiteln arbeiten, können Sie immer wieder im ersten Teil nachschlagen.

In diesen ersten Kapiteln führe ich Sie in die Welt der Buchstaben und Zeichen ein. Zuerst kommt einem der Umgang mit diesen Zeichen und Zahlen wie eine neu zu erlernende Sprache vor. Es gibt ein Vokabular, einige häufig gebrauchte Ausdrücke und bestimmte Gepflogenheiten. Diese Sprache ist der Ausgangspunkt für alles Weitere.

Teil II: Faktorisieren verstehen

In diesem Teil geht es um Faktorisieren und Vereinfachen. Wenige algebraische Prozesse sind wichtiger als das Faktorisieren. Dabei werden Ausdrücke anders geschrieben, um ein Problem leichter lösen zu können. Beim Faktorisieren werden aus Additionen und Subtraktionen Multiplikationen und Divisionen. Viele Probleme...