Vorkurs Mathematik - Ein Übungsbuch für Fachhochschulen

2 Elementare Strukturen (S. 38)

2.1 Aussagenlogik

In Kapitel 1 haben wir verschiedene mathematische Operationen kennen gelernt und gesehen, wie man Ausdrücke mit Hilfe von Rechenregeln umformen kann. In Anwendungen geht es nun darum, Eigenschaften dieser Ausdrücke festzustellen. Dazu wird geprüft, ob ein Ausdruck eine bestimmte Eigenschaft besitzt oder nicht. In diese Entscheidung fließen in der Regel die Gegebenheiten der Aufgabenstellung ein. Eine Eigenschaft könnte beispielsweise "ist positiv" sein, und die Prüfung, ob ein Ausdruck positiv ist, könnte ergeben "ja, er ist es" oder "nein, er ist es nicht". Es wird also eine Aussage über diesen Ausdruck gemacht. Man kann sich das so vorstellen, dass einem Objekt eine Eigenschaft zugewiesen wird, die dieses Objekt entweder besitzt oder nicht besitzt.

Definition

Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr oder falsch ist. Steht in einer Aussage anstelle einer Konstanten eine Variable wie beispielsweise x, so spricht man von einer Aussageform. Man bezeichnet "wahr" und "falsch" als die beiden möglichen Wahrheitswerte. Bemerkungen:

1. Bei der Beurteilung, ob es sich bei einem Wortgebilde um eine Aussage handelt, spielt es keine Rolle, ob Sie in der Lage sind, den Wahrheitsgehalt festzustellen. Es kommt nur darauf an, dass Sie erkennen, ob dasWortgebilde entweder wahr oder falsch ist – dann handelt es sich um eine Aussage.

2. Für das logische Erfassen beim Lesen von (beispielsweise) technischen Texten ist das Erkennen der formulierten Zusammenhänge wichtig. Oft kann man sich die Bedeutung erschließen, wenn man die Zusammenhänge logisch richtig erfasst, ohne dass man – zunächst – alle Begriffe versteht.

Beispiel 2.1

Welche der folgenden Formulierungen sind Aussagen oder Aussageformen?

. A: Alle Bücher aus dem Fachbuchverlag Leipzig sind empfehlenswert.
. B: In dieser Zeile ist kein Rechtschreibvehler.
. C: Wie spät ist es?
. D: In diesem Buch sind genau 402452 Buchstaben.
. E: 4+3= 7
. F: x + 3 = 9
. G: Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind gerade.
. H: x ist durch 4 teilbar und gerade.

Lösung: A, B, D, E, G sind Aussagen (Hoffentlich haben Sie nicht angefangen, die Buchstaben in diesem Buch zu zählen!). C ist weder Aussage noch Aussageform, denn C lässt sich kein Wahrheitswert zuordnen. F und H sind Aussageformen. Setzt man in F und H für x eine konkrete Zahl ein, so werden aus den Aussageformen Aussagen. Aussageformen kann man keinen Wahrheitswert zuordnen. Sind die Variablen aber durch konkrete Zahlen ersetzt, werden sie zu Aussagen und damit ist es auch (prinzipiell) möglich zu entscheiden, ob sie wahr oder falsch sind. Mit einer Aussage (oder einer Aussageform) allein lässt sich wenig anfangen. Interessant wird es, wenn man verschiedene Aussagen miteinander verknüpft.