Grundlagen der Regelungstechnik Kontinuierliche und diskrete Systeme

8 Stabilität von Systemen (S. 191-192)

8.1 Einleitung

Der großeVorteil einer Regelung gegenüber einer Steuerung besteht in der Möglichkeit, durch ständige Überwachung der Ausgangsgröße(n) ein System auch dann gezielt zu beeinflussen, wenn es nur unvollständig bekannt ist. Da jedoch jede Regelung eine rückgekoppelte Struktur besitzt, können dabei Stabilitätsprobleme auftreten. Für einen in der Praxis brauchbaren Regelkreis muss gewährleistet sein, dass für beliebige Eingangssignale oder bei auftretenden Störungen keine bleibenden oder gar aufklingenden Schwingungen einer Regelgröße bzw. mehrerer Regelgrößen auftreten.In Anlehnung an Abschnitt 4.1 sollen hier noch einmal die wichtigsten Definitionen bezüglich der Stabilität von Systemen zusammengestellt werden, um einen guten Einstieg in die Definition der Stabilität auf dem Gebiet der Beschreibung von Systemen im Zustandsraum zu finden.

Ein lineares zeitinvariantes System wird genau dann als stabil bezeichnet, wenn seine Sprungantwort mit zunehmender Zeit einem konstantenWert entgegenstrebt bzw. seine Impulsantwort mit zunehmender Zeit gegen denWert null läuft.

In einfachen Fällen kann dieses Stabilitätskriterium direkt angewandt werden. Für kompliziertere Systeme ist es jedoch mühsam, den zeitlichenVerlauf der Sprung- bzw. Impulsantwort zu ermitteln. Bekannt, oder zumindest leicht zu ermitteln, ist hingegen die Übertragungsfunktion eines Systems bzw. eines Regelkreises, auf deren Untersuchung sich die Stabilitätsbetrachtung gemäß folgendem Satz reduzieren lässt:

Ein lineares zeitinvariantes System ist genau dann stabil, wenn sämtliche Pole seiner Übertragungsfunktion einen negativen Realteil haben.

Dieser Satz ist insofern schnell bewiesen, als man lediglich die gegebene Übertragungsfunktion in Partialbrüche zu zerlegen und die entstehenden Ausdrücke gliedweise in den Zeitbereich zurückzutransformieren hat. Gemäß der ersten Definition geht dann die Impulsantwort mit zunehmender Zeit nur dann gegen null, wenn – wie oben definiert – sämtliche Pole der Übertragungsfunktion des zu betrachtenden Systems einen negativen Realteil haben. Bei der Beurteilung der Stabilität entsprechend der zweiten Definition kommt nun erschwerend hinzu, dass für Systeme dritter oder höherer Ordnung ein relativ hoher Rechenaufwand notwendig ist, um die Polstellen zu berechnen und damit die Stabilität des Systems beurteilen zu können.Vorteilhaft wären deshalb Kriterien, mit denen die Stabilität beurteilt werden kann, ohne die Polstellen der Übertragungsfunktion bestimmen zu müssen.