Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik

7 Numerische Verfahren (S. 153-153)

Problemstellung

Der Einsatz der Computer ermöglicht die Behandlung von komplizierten wirtschaftlichen Problemen, die häufig nur mit numerischen Verfahren zu lösen sind. Numerische Verfahren sind Betrachtungsgegenstand der Numerischen Mathematik. Diese beschäftigt sich im Gegensatz zu den vorangegangenen Abschnitten mit der Problematik des Rechnens mit Zahlen. Während zum Beispiel in den Gebieten Lineare Algebra und Analysis mit mathematischen Größen exakt gerechnet werden kann, können bei der numerischen Berechnung unterschiedliche (objektive) Fehler wirksam werden. Das Spektrum der Auswirkungen dieser Fehler geht von unwesentlich bis katastrophal, d. h., das erhaltene numerische Resultat hat mit der Lösung des Problems nicht das Geringste zu tun. Somit sind Lösungen, die mit numerischen Verfahren gewonnen wurden, immer gute oder schlechte Näherungslösungen. Ein teilweiser Ausweg sind symbolische Berechnungen mit dem Computer.

7.1 Fehlerarten

(1) Modellierungsfehler
Modellierungsfehler entstehen durch eine idealisierte (vereinfachte) mathematische Beschreibung des Problems, z. B. werden konstante Preise, unveränderliche Rahmenbedingung (Restriktionen) vorausgesetzt oder Zusammenhänge linearisiert.

(2) Datenfehler

Datenfehler entstehen bei der Erfassung von Daten, z. B. durch Messfehler oder bei der statistischen Datenerfassung.

(3) Rundungsfehler bzw. Abbruchfehler
Rundungsfehler bzw. Abbruchfehler entstehen bei der Darstellung der Zahlen im Rechner.
Rundungsfehler sind abhängig von der gewählten Zahlendarstellung. Abbruchfehler entstehen durch Weglassen der restlichen Stellen.

(4) Verfahrensfehler

Verfahrensfehler treten auf, wenn z. B. stetige Probleme durch diskrete Probleme näherungsweise beschrieben werden. Z. B. Differenzialgleichungen durch Differenzengleichungen, bzw. Ableitung durch Differenzenquotient, Trapezregel bei der numerischen Integration.

7.2 Zahlendarstellungen

Die Menge der reellen Zahlen kann auf einem Rechner nicht realisiert werden. Es ist die folgende Zahlendarstellung unter Verwendung einer endlichen und festen Anzahl von Mantissenstellen möglich.